Zrozumieć mechanikę obrotu bryły sztywnej.

Od kilku dni mam urlop i w końcu mam trochę wolnego czasu. A co można robić w czasie urlopu? Można spróbować zrozumieć mechanikę obrotu bryły sztywnej :) Żona chce mnie utłuc i twierdzi że ze mną jest coś nie tak. No i chyba ma racje.

Przerobiłem od nowa całe dochodzenie profesora Jadczyka, wspomagając się różnymi prezentacjami jakie znajdowałem w internecie i co nieco zaczynam rozumieć. Aby w pełni zrozumieć matematyczne reguły trzeba by kilka razy przewałkować to na nowo, ale teraz załapałem jako taką intuicje.

Nie mając wykształcenia kierunkowego a próbując zrozumieć tensor bezwładności, kąty Eulera. zależności pomiędzy poszczególnymi wektorami, jak i patrząc na takie obrazki można się nabawić niezłych zawrotów głowy.

Dodam jedynie że nie satysfakcjonuje mnie znajomość wzoru i umiejętność wyliczeń. Najczęściej drążę temat tak długo aż nie zrozumiem skąd się biorą wszystkie składowe wzorów i jak zmiana poszczególnych składowych wpływa na końcowy wynik.

Przechodząc do setna. Teraz spróbuje znaleźć nieco prostsze wytłumaczenie efektu Dżanibekowa

Jak to wynika z mechaniki bryły sztywnej kiedy ma ona nierównomierne rozłożenie mas to jej obrót wokół osi może być niestabilny.

Pytanie jest:

Jakie warunki muszą być spełnione by obrót był stabilny a jakie by był niestabilny?

Co znaczy stabilny, niestabilny?

Jaka jest przyczyna nagłej zmiany osi obrotu?

Dlaczego ten „fikołek” odbywa się tak a nie inaczej?

Podczas swoich poszukiwań natknąłem się na takie stwierdzenie.

„Najprostszymi rodzajami ruchu bryły sztywnej jest ruch obrotowy względem jednej z głównych osi bezwładności. Ruch taki jest stabilny tylko wtedy, gdy odbywa się wokół osi, dla której moment bezwładności jest największy. Ruch wokół osi II., dla której moment bezwładności jest najmniejszy, jest także stabilny, ale wtedy najmniejsze zaburzenie ruchu powoduje, że pojawia się para sił odśrodkowych, która stara się doprowadzić do obrotu wokół osi I. ciała. Ruch wokół osi III. jest zawsze niestabilny.”

http://www.if.pw.edu.pl/~anadam/WykLadyFO/FoWWW_08.html  /  „Główne osi bezwładności”

Od dawna intuicja podpowiada mi że to właśnie działanie sił dośrodkowych musi być odpowiedzialne za te zjawisko.

Dla tych którzy znają podstawy fizyki następujący fragment może wydać się banalny, ale przedstawiając moją interpretacje, chciałbym przejść tok myślowy od samych podstaw, ku mam nadzieje szczęśliwemu końcu.

Zaczynimy więc od początku.

Trzy zasady dynamiki które stoją u podstawy wszelkiego ruchu. Uproszczę je nieco.

Symbole wektorów będą oznaczone za pomocą liter z akcentem jakie występują w standardowej czcionce.

Jeżeli suma wektorów sił Ḟdziałających na ciało jest równa zero, to wektor prędkość ciała ṽ jest stały.

Jeżeli ∑Ḟ=0 to ṽ – constans

Jeżeli suma wektorów sił działających na ciało jest różna od zera, to ciało porusza się z przyspieszeniem (wektor ả), prost proporcjonalnym do siły wypadkowej a odwrotnie proporcjonalnie do masy.

ả=Ḟw/m

Akcja równa się reakcja

A=R

Z tych praw wynika że jeżeli obiekt zmienia wektor prędkości to musi na niego działać siła.

Ruch obrotowy jest szczególnym ruchem. Otóż ciało może się kręcić i jednocześnie się nie przemieszczać i na odwrót ciało może się przemieszczać bez kręcenia się. Jeżeli weźmiemy pierwszy przypadek i zsumujemy wszystkie wektory prędkości to okaże się że prędkość całkowita ciała jest równa zero ṽc=0.

Ciało się nie przemieszcza a mimo to jest w ruchu. Fizycy poradzili sobie z tym problemem w sprytny sposób. Wektor prędkości kątowej ώ umieścili prostopadle do wektorów prędkości punktów i zaczepili go o punkt na osi obrotu. Teraz mamy dwa wektory opisujące ruch: ṽ – prędkość przemieszczenia w przestrzeni i ώ – prędkości kątową względem osi obrotu.

Przyglądając się dokładniej zauważamy że ṽ punktu materialnego obracającego się względem osi obrotu zmienia się w czasie.

Skoro zmienia się wektor ṽ znaczy to że na punkt materialny działa siła. Co to za siła? Jest to siła więzów i nazywa się siła dośrodkowa. Jest ona przyczepiona do punktu materialnego i ma ten sam kierunek co wektor promienia ȓ ale przeciwny zwrot. Jej wartość to F_d=(mv^2)/r lub inaczej Ḟ_d=-mω^2ȓ. Siła dośrodkowa jest przyczyną przyspieszenia dośrodkowego ả_d który to powoduje zmianę wektora prędkości ṽ punktu materialnego.

Wszystko było by pięknie gdyby nie fakt że, działając tą samą siłą to jaki będzie efekt zależy od masy obiektu. Wartość przyspieszenia jest proporcjonalna do siły i odwrotnie proporcjonalna do masy m. Fizycy aby uwzględnić masę, stworzyli wektor pędu równy masie razy prędkość ṗ=mṽ, inaczej zwany też wektorem bezwładności i oznaczany literką Ȋ. Jaki ma sens wprowadzenie pędu? Ano taki że teraz można w łatwy sposób obliczyć jak wpływ na obiekt ma działająca siła. Zmiana wektora pędu jest proporcjonalna do działającej siły w określonym czasie ∆ṗ=Ḟ∆t.

Jednak jeżeli znów weźmiemy bryłę obracającą się lecz nie przemieszczającą, to okaże się że znów suma wektorów pędu punktów materialnych równa jest zero. Bryła mająca ṽ=o ma również ṗ=0. Dlatego też fizyka wprowadza kolejny wektor moment pędu Ĺ, który jest podobnie tworzony jak prędkość kątowa.

To czego nam jeszcze brakuje to wektor położenia ȓ względem układu odniesienia. W ruchu obrotowym wektor ȓ będzie promieniem. Wektor ȓ mimo że wydaje się mało ważny to właśnie on wyznacza zwrot większości wektorów i gdy przejdziemy do ruchu obrotowego gdzie nie wszystko jest pod kątem prostym, to on będzie przyczyną sporego zamieszania.

Jest jeszcze wektory momentu siły, przyspieszenia kątowego, siły odśrodkowej i zapewne wiele innych jednak nie będą one nam potrzebne a ich opis tutaj zmniejszał by przejrzystość i tak dość skomplikowanej sytuacji.

Rozrysowałem teraz ruch obrotowy pojedynczego punktu materialnego gdzie wektory ȓ, ώ, ṽ są prostopadłe względem środka ciężkości. Wektory bardzo ładnie się pokrywają w trzech osiach.

Ale świat w którym żyjemy idealny nie jest. Wręcz przeciwnie jest problematyczny.

Zastanówmy się teraz jak te wektory będą wyglądać gdy daleko od grawitacji, punkt materialny będzie przytwierdzony do sztywnego środka ciężkości, na ruchomym ramieniu i będzie posiadał wektor prędkości ṽ.

Wyznaczenie wektorów prędkości to ṽ= ώxȒ. Czym się różni Ȓ od ȓ? Ȓ jest prostopadły do ώ czyli musi być prostopadły do osi obrotu zaś ȓ jest promieniem względem środka ciężkości czyli punktu wokół którego wszystko się kręci. W tym przypadku Ȓ i ȓ się rozjeżdżają i teraz poprzednio uporządkowane wektory się rozjeżdżają komplikując nieco drogę ruchu jaką przebywa punkt materialny.

Stąd już krok do wytłumaczenia nutacji i następnie poprzez dołączenie kolejnych punktów materialnych wyjaśnienie precesji. Mam nadzieje że idąc tą drogą uda się też wyjaśnić przyczyny fikołka ale z tym to sprawa jest o wiele bardziej skomplikowana i przynajmniej ja natrafiam na problemy które muszę jeszcze rozwiązać. Ale to już w następnych notkach. I na tym zakończę tą notkę bo robi się ona zbyt długa i zapewne wielu nie doczyta do jej końca.

Zobacz galerię zdjęć: