Blog
zrozumieć przestrzeń
slej
slej Człowiekiem ciekawym życia
5 obserwujących 80 notek 55591 odsłon
slej, 13 kwietnia 2017 r.

Mechanika obrotu punktu bryły sztywnej.

174 1 1 A A A

Korekta zaznaczona na żółto

    Poniższy tekst stanowi wstępne podsumowanie moich rozwiązań, dotyczących wytłumaczenia przyczyn mechaniki obrotu bryły sztywnej. Rozwiązania te nie zostały jak do tej pory zweryfikowane przez osobę trzecią, dlatego też jeżeli widzisz gdzieś błąd nie wstydź się go wskazać.

     Wiele moich przekształceń jest robiona intuicyjnie zgodnie z moją wiedzą i dobrą wolą, zgodnie z zasadą że co nie jest zabronione jest dozwolone. Na razie nie umiem w pełni wyprowadzić tych wzorów dlatego też możliwe jest że istnieją rzeczy które przeoczyłem a które mogą zmieniać końcowy wynik. Ta technika „na pałę” zapewne u wielu osób zajmujących się tym na co dzień może być szokiem i uważana jest za "barbarzyństwo", jednak dla mnie o wiele bardziej ważna jest skuteczność od poprawności i eleganckich rozwiązań. Nie znam przyczyn dlaczego moje przekształcenia miały by być błędne dlatego uważam je za prawdziwe. Jeżeli prawdziwe jest stwierdzenie że M=Iω2 to takie stwierdzenie jest dla mnie również prawdziwe Ixɛx = Iyωyωz – Izωzωy = Mx . Mimo że jak do tej pory słyszałem mnóstwo opinii że tak nie można to jednak nikt jeszcze nie podał mi dowodu na błąd tego stwierdzenia.


Interpretacja geometryczna wzorów Eulera.

    Przedstawmy bryłę sztywną za pomocą modelu, złożonego z trzech prostopadłych do siebie bez masowych ramion na końcach których znajdują się punkty materialne pokazane w postaci kul, podobnie jak to robi profesor Jadczyk na swoim blogu.image



Moment bezwładności to


I=mr2


Momenty bezwładności możemy uzyskać na różne sposoby na przykład aby uzyskać I=4 możemy zastosować r=1 i m=4 lub r=2 i m=2.

    Aby wyznaczyć moment bezwładności BS względem osi należy zsumować momenty bezwładności wszystkich punktów materialnych BS względem tej osi


I=∑miri2                                                                                                                           (1)


gdzie r jest promieniem do osi obrotu.

http://www.if.pw.edu.pl/~anadam/WykLadyFO/FoWWW_08.html


Chcemy ustalić trzy główne momenty bezwładności BS na Ix=2, Iy=4, Iz=6.            (2)

Aby uprościć przekaz załóżmy że wszystkie ramiona

rx=ry=rz=1.                                                                                                                       (3)

Aby uzyskać nasze założenia:

na osi x mamy dwie masy po 1

na osi y mamy dwie masy po 2

na osi z masy równe są zero.


Zgodnie ze wzorem (1)


Ix=2(my*r)+2(mz*r)=4+0                                                                                                (4)

Iy=2(mz*r)+2(mx*r)=0+2

Iz=2(mx*r)+2(my*r)=4+2


Moje przekształcenia wzorów Eulera wyglądają następująco:


Ixɛx = Iyωyωz – Izωzωy + Mxz = Mx                                                                                 (5a)

Iyɛy = Izωzωx – Ixωxωz + Myz = My

Izɛz = Ixωxωy – Iyωyωx + Mzz = Mz

Mxz ; Myz ; Mzz -Momenty sił zewnętrznych w naszym przypadku równe są zero. Mamy więc

Ixɛx = Iyωyωz – Izωzωy = Mx                                                                                          (5b)

Iyɛy = Izωzωx – Ixωxωz = My

Izɛz = Ixωxωy – Iyωyωx = Mz



    Musimy teraz przyjąć współrzędne wektora prędkości kątowej Ω. Zauważmy że jeżeli wektor Ω ma tylko jedną współrzędną niezerową to wszystkie równania równe są zero. Nasz wektor ma następujące współrzędne


Ω=(-1/2; -3/2; 0) czyli ωx=1/2; ωy=3/2; ωz=0 czyli Ω=1                                 (6)


Podstawiamy do wzorów (5), w dwóch pierwszych równaniach mamy ωz=0 więc będą one równe zero


Mx=0                                                                                                                             (7)

My=0

Mz= 3 - 3/2 = 3/2

ɛz = 3/12


Moment siły jest to iloczyn wektorowy


M = r x F                                                                                                                        (8)


Wiemy że moment siły leży na osi z, pytanie jest na których osiach leżą r i F. Wyjaśni się to gdy zrozumiemy działanie wahadła stożkowego.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wahad%C5%82o_sto%C5%BCkowe

image

    Umieszczając ciężarek na ramieniu (wahadło) i wprowadzając go w ruch obrotowy obserwujemy podnoszenie się ciężarka, czyli wychylenie ramienia z pozycji pionowej o pewien kąt. Zjawisko to tłumaczy się działaniem siły więzów które rozchodzą się wzdłuż ramienia. Ponieważ ramie jest nachylone pod pewnym kątem α to siła więzów ma dwie składowe.


Składową poziomą Fwx=sinα oraz                                                                            (9)

Składową pionową Fwy=cosα


    Siła Fwy uważa się za odpowiedzialną za zjawisko unoszenia ciężarka. W polu grawitacyjnym wahadło podnosi się lub opada do momentu kiedy siła Fwy zrówna z siłą ciążenia Fg.


Ciekawa obserwacja:

    Składowe pionowe siły więzów zawsze pchają ciężarek do wychylenia o 90 stopni. Przy wychyleniu tym wahadło posiada największy moment bezwładności, jednocześnie składowa pionowa siły więzów równa jest zero. Składowa pionowa siły więzów jest przyczyną dążenia BS do największych momentów bezwładności. Do tej pory nikt nie potrafił wytłumaczyć co jest tego przyczyną.


Definicja:

    Stan równowagi wahadła stożkowego w polu grawitacyjnym jest to stan w którym składowa pionowa siły więzów jest równa sile ciążenia.

Fwcosα=mg

    Nie mylić ze stanem równowagi wahadła Fizycznego, gdzie stan równowagi jest wtedy gdy energia potencjalna jest najmniejsza. W wahadle stożkowym jak i w efekcie Dzanibekowa nie mamy do czynienia z klasyczną oscylacją wokół punktu równowagi jaką znamy z wahadła Fizycznego.


Ważne pytania na które nie znam jeszcze odpowiedzi:

Ile czasu potrzebuje wahadło stożkowe by z pozycji startowej uzyskać stan równowagi?

Po jakiej trajektorii będzie się poruszać?

Jak zachowuje się wahadło stożkowe poza polem grawitacyjnym? Czy podlega ono wtedy nutacji?

13 kwietnia 2017 r.
Autor: slej
Skomentuj Obserwuj notkę Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Tematy w dziale Technologie